Série d'exposés sur les
"Outils algébriques en théorie conforme des champs"

Résumé : For a reductive group $G$ and a quantum parameter $q$, skein theory assigns skein algebras to surfaces and skein modules to 3-manifolds. Skein modules of closed 3-manifolds at generic $q$ were conjectured by Witten to be finite-dimensional—a statement later proved by Gunningham, Jordan, and Safronov. In this talk, I will present joint work with David Jordan on a generalization of this conjecture to 3-manifolds with boundary. In this setting, finiteness is replaced by holonomicity over the boundary skein algebra. Finally, if time permits, I will discuss aspects of the proof and ongoing work on applications to other finiteness properties of skein modules.

Résumé : Continuation de la partie I

Résumé : We give an overview about applications and appearances of Grothendieck-Verdier duality, a weakening of rigidity, in conformal field theory, quantum topology, and representation theory. This is an exciting field, with many developments in recent years and we will give (a necessarily incomplete) overview about these trying to highlight some open questions. A focus will be on connections between algebra and low-dimensional topology.

Résumé : Les associateurs de Drinfeld sont des objets algébriques compliqués qui produisent des représentations pro-unipotentes/perturbatives universelles des groupes (ou de la catégorie, ou de l'opérade,..) des tresses. Ils sont la pierre angulaire du lien remarquable qui existe entre topologie de basse dimension, quantification par déformation et théorie des représentations : ils fournissent une construction combinatoire de l'invariant de Vassiliev-Kontsevich des entrelacs, donnent une famille (conjecturalement complète) de relations algébriques entre les nombres multizeta, et sont responsables de tous les théorèmes difficiles d'existence de quantifications de structures de Poisson. Ils expliquent en particulier l'existence des groupes quantiques et des invariants d'entrelacs associés. L'existence des associateurs est montrée via une version universelle des équations KZ en théorie conforme des champs.
Dans cet exposé on expliquera une construction combinatoire de variantes en genre supérieure des associateurs : étant donnés un associateur et une surface $S$ compacte, orientée, éventuellement à bord, cette construction produit une représentation perturbative universelle de la catégorie des tresses sur $S$ dans une certaine catégorie de diagrammes de Feynman. Les ingrédients essentiels sont une certaine propriété d'excision satisfaite par les catégories de tresses sur les surfaces, ainsi qu'une quantification du procédé « d'exponentiation » dû à Alekseev-Malkin-Meinrenken pour la structure de Poisson sur les variétés de caractères des surfaces. Dans le cas du tore on retrouve une formule découverte par Calaque-Enriquez-Etingof via les équations KZB elliptiques. Si le temps le permet, on parlera de spécialisations et du lien avec des représentations similaires obtenues grâce aux groupes quantiques.

Résumé: Originally arising from two-dimensional conformal field theory, vertex algebras have also found wide-ranging applications across mathematics (eg. the Monster group and the Moonshine conjecture, modular forms and combinatorial identities, and the geometric Langlands programme just to mention a few). These two lectures aims to discuss the basic concepts and some important challenges of the theory of vertex algebras. We will first introduce our main objects of interest and illustrate with the concrete and fundamental examples arising from Lie theory. The second lecture will focus on the representation theory of vertex algebras and the deep connection with modular tensor categories.

Résumé : Grothendieck-Verdier categories are monoidal categories with a duality structure generalising rigid duality. Examples include categories of bimodules, modules over Hopf algebroids, and modules over vertex operator algebras. Unlike rigid categories, Grothendieck-Verdier categories admit non-invertible associativity constraints. These can be studied using a surface-diagrammatic calculus, extending Joyal and Street’s string-diagrammatic calculus into a third dimension. I will illustrate this calculus in the context of Frobenius algebras and higher Frobenius–Schur indicators. To make the geometry tangible, I will share 3D-printed surface diagrams created with homotopy.io. If time permits, I will also present coherence theorems for Grothendieck-Verdier categories. These combinatorial results, from ongoing joint work with Christian Reiher and Christoph Schweigert, simplify calculations in the surface-diagrammatic calculus.

Résumé: Originally arising from two-dimensional conformal field theory, vertex algebras have also found wide-ranging applications across mathematics (eg. the Monster group and the Moonshine conjecture, modular forms and combinatorial identities, and the geometric Langlands programme just to mention a few). These two lectures aims to discuss the basic concepts and some important challenges of the theory of vertex algebras. We will first introduce our main objects of interest and illustrate with the concrete and fundamental examples arising from Lie theory. The second lecture will focus on the representation theory of vertex algebras and the deep connection with modular tensor categories.

Résumé : In the first half of the talk, I will explain how string-net models, and skein theory more broadly, can be organized as an operadic construction. In the second half of the talk, I will explain how to use string-net models to construct a consistent system of correlators in a rational conformal field theory with defects in all codimensions, and how this construction can be understood functorially using double categories.